Инлайн стили в React передаются в компонент как обычные свойства (props). При этом, так как значение свойства передается в фигурных скобках, а стили передаются в виде объекта, то получается двойная фигурная скобка.

<header className="masthead" style={{ background: "url('img/home-bg.jpg')" }}/>